双尾和单尾检验的原假设和备择假设如下。
$H_0: \sigma_1^2=\sigma_2^2, \quad H_a: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$
$H_0: \sigma_1^2 \geqslant \sigma_2^2, \quad H_{\mathrm{a}}: \sigma_1^2<\sigma_2^2$
$H_0: \sigma_1^2 \leqslant \sigma_2^2, \quad H_e: \sigma_1^2>\sigma_2^2$
$F$ 统计量的自由度为 $n_1-1$ 和 $n_2-1$ 。
$$
F=s_1^2 / s_2^2
$$
注意：永远把较大的一个样本方美放在分子上, 即 $F$ 统计量大于 1 , 如果这样, 我们只需考虑右边的哐蛫区域, 两不管 $F$ 检验是单尾还是双尾检验。
例1： 我们想检验 IBM 股票和 HP 股票的月收益率的标准差是否相等。我们选取2004-200这36个月它们的月收益率数据，来检验其标准差是否还为5%。我们测得这36个月他们的月收益率标准差分别为 $5 \%$ 和 $6 \%$ 。 以显著性水平为 $0.05$, 假设检验的结果如何?
（1）写出原假设和备择假设
$$
H_0: \sigma_1^2=\sigma_2^2, \quad H_0: \sigma_1^2 \neq \sigma_8^2
$$
(2) 使用F检验
(3) 计算 $F$ 统计量 $F=s_i^2 / s_2^2=0.0036 / 0.0025=1.44$ 。
(4) 查表得到 $F$ 关键值 $2.07$ 。
(5)由于 $1.44<2.07, F$ 统计量没有落在拒绝区域, 因此我们不能拒绝原假设。
(6)最后我们陈述结论：IBM 股票和 HP 股票的标准者没有显著地不等。
参考资料